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2021年硕士研究生《数学(三)》真题
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1、
A.低阶无穷小
B.等价无穷小
C.高阶无穷小
D.同阶但非等价无穷小
本题答案：
C
C
2、
A.连续且取得极大值
B.连续且取得极小值
C.可导且导数为零
D.可导且导数不为零
本题答案：
D
D
3、设函数f(x)=ax-blnx(a>0)有2个零点，则b/a的取值范围是( )．
A.(e，+∞)
B.(0，e)
C.
D.
本题答案：
A
A
4、设函数f(x，y)可微，且f(x+1，ex)=x(x+1)2，f(x，x2)=2x2Inx，则df(1，1)=( )．
A.dx+dy
B.dx-dy
C.dy
D.-dy
本题答案：
C
C
5、二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( )．
A.2，0
B.1，1
C.2，1
D.1，2
本题答案：
B
B
6、设A=(α1，α2，α3，α4)为四阶正交矩阵，若矩阵
，k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=( )．
，k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=( )．A.α2+α3+α4+kα1
B.α1+α3+α4+kα2
C.α1+α2+α4+kα3
D.α1+α2+α3+kα4
本题答案：
D
D
7、已知矩阵
，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q可使得PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别取( )．
，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q可使得PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别取( )．A.
B.
C.
D.
本题答案：
C
C
8、设A，B为随机事件，且0
A.若P(A|B)=P(A)，则P(A|
)=P(A)
B.若P(A|B)>P(A)，则P(
|
)>P()
C.若P(A|B)>P(A|
)，则P(A|B)>P(A)
D.若P(A|A∪B)>P(
|A∪B)，则P(A)>P(B)
本题答案：
D
D
9、
A.
B.
C.
D.
本题答案：
B
B
10、设总体x的概率分布为
，利用来自总体X的样本观察值1，3，2，2，1，3，1，2，可得θ的最大似然估计值为( )．
，利用来自总体X的样本观察值1，3，2，2，1，3，1，2，可得θ的最大似然估计值为( )．A.
B.
C.
D.
本题答案：
A
A
11、
本题答案：
【解析】
【解析】
12、
本题答案：
6
6
【解析】
13、设平面区域D由曲线y=
sinπx(0≤x≤1)与x轴围成，则D绕x轴旋转所成旋转体的体积为________．
sinπx(0≤x≤1)与x轴围成，则D绕x轴旋转所成旋转体的体积为________．
本题答案：
【解析】
【解析】
14、差分方程△yt=t的通解为yt=________．
本题答案：
（其中C为任意常数）
【解析】
因为
，所以原方程可转化
为
．该差分方程对应的齐次方程的通解为C(C为任意常数)．
设非齐次特解为
，代入原方程可得
a(t+1)2+b(t+1)-(at2+bt)=t，即2at+a+b=t，解得a=
，b=-，
（其中C为任意常数）【解析】
因为
，所以原方程可转化为
．该差分方程对应的齐次方程的通解为C(C为任意常数)．设非齐次特解为
，代入原方程可得a(t+1)2+b(t+1)-(at2+bt)=t，即2at+a+b=t，解得a=
，b=-， 15、
本题答案：
-5
【解析】
-5
【解析】
16、甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球．令X，Y分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数为________．
本题答案：
【解析】
由题意可知，X与Y的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示．
所以E(XY)=0.3，E(X)=E(Y)=0.5，D(X)=D(Y)=0.25，
【解析】
由题意可知，X与Y的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示．
所以E(XY)=0.3，E(X)=E(Y)=0.5，D(X)=D(Y)=0.25，
17、
本题答案：
解：
解：
18、
本题答案：
解：
解：
19、设有界区域D是圆x2+y2=1和直线y=x及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分
本题答案：
解：
解：
20、设n为正整数，y=yn(x)是微分方程xy'-(n+1)y=0满足条件
的解．
(I)求yn(x)；
(Ⅱ)
求级数
的收敛域及和函数．
的解．(I)求yn(x)；
(Ⅱ)
求级数
的收敛域及和函数．
本题答案：
解：(I)
解：(I)
21、设矩阵
仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．
仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．
本题答案：
解：
解：
22、在区间(0，2)上随机取一点，将该区间分成两段，其中较短一段的长度记为x，较长一段的长度记为y，并令Z=
．
(I)求X的概率密度；
(II)求Z的概率密度；
(Ⅲ)求E
．(I)求X的概率密度；
(II)求Z的概率密度；
(Ⅲ)求E
本题答案：
解：
(I)由题意知，X+Y=2，0
解：
(I)由题意知，X+Y=2，0