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2020年硕士研究生《数学(二)》真题
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1、当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是()．
A.
B.
C.
D.
本题答案：
D
D
2、
A.1
B.2
C.3
D.4
本题答案：
C
C
3、
A.
B.
C.
D.
本题答案：
A
A
4、已知函数f(x)=x2ln(1-x)，当n≥3时,f(n)(0)=()．
A.
B.
C.
D.
本题答案：
A
A
5、
A.4
B.3
C.2
D.1
本题答案：
B
B
6、设函数f(x)在区间[-2，2]上可导，且f'(x)>f(x)>0，则
A.
B.
C.
D.
本题答案：
B
B
7、设四阶矩阵A=(aij)不可逆，a12的代数余子式A12≠0，α1，α2，α3，α4为矩阵A的列向量组，A*为A的伴随矩阵，则方程组A*x=0的通解为()．
A.x=k1α1+k2α2+k3α3，其中k1，k2，k3为任意常数
B.x=k1α1+k2α2+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数
C.x=k1α1+k2α3+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数
D.x=k1α2+k2α3+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数
本题答案：
C
C
8、设A为三阶矩阵，α1，α2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，α3为A的属于特征值-1的特征向量，则满足
的可逆矩阵P为()．
的可逆矩阵P为()．A.(α1+α3，α2，-α3)
B.(α1+α2，α2，-α3)
C.(α1+α3，-α3，α2)
D.(α1+α2，-α3，α2)
本题答案：
D
D
9、
本题答案：
【解析】
【解析】
10、
本题答案：
【解析】
【解析】
11、
本题答案：
(π-1)dx-dy
【解析】
(π-1)dx-dy
【解析】
12、斜边长为2a的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g，水密度为p，则该平板一侧所受的水的压力为________．
本题答案：
【解析】建立直角坐标系，如图所示．
【解析】建立直角坐标系，如图所示．
13、
本题答案：
1
【解析】
∵特征方程λ2+2λ+1=0，
1
【解析】
∵特征方程λ2+2λ+1=0，
14、
本题答案：
a4—4a2
【解析】
a4—4a2
【解析】
15、
本题答案：
因此，曲线的斜渐近线方程为
因此，曲线的斜渐近线方程为
16、已知函数f(x)连续，且
，并证明g'(x)在x=0处连续．
，并证明g'(x)在x=0处连续．
本题答案：
17、求二元函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值．
本题答案：
求一阶导数可得
当x=0，y=0时，A=0，B=-1，C=0，
AC—B2<0，故(0，0)不是极值点．
当x=
，y=
时，
A=1，B=-1，C=4，
AC—B2>0，且A=1>0，故(
，
)是极小值点．
求一阶导数可得
当x=0，y=0时，A=0，B=-1，C=0，
AC—B2<0，故(0，0)不是极值点．
当x=
，y=时，A=1，B=-1，C=4，
AC—B2>0，且A=1>0，故(
，)是极小值点． 18、
本题答案：
所以①×2-②×x2得
所以①×2-②×x2得
19、设平面区域D由直线x=1，x=2，y=x与x轴围成，计算
本题答案：
积分区域如下图所示．
积分区域如下图所示．
20、设函数
，证明：
(I)
(Ⅱ)
，证明：(I)
(Ⅱ)
本题答案：
证明：
(I)构造辅助函数F(x)=f(x)(x-2)=(x-2)
，
显然F(1)=0，F(2)=0，又F(x)在[1，2]上连续，(1，2)上可导，
由罗尔定理知
ξ∈(1，2)，使得F’(ξ)=0．
证明：
(I)构造辅助函数F(x)=f(x)(x-2)=(x-2)
，显然F(1)=0，F(2)=0，又F(x)在[1，2]上连续，(1，2)上可导，
由罗尔定理知
ξ∈(1，2)，使得F’(ξ)=0． 21、设函数f(x)可导，且f'(x)>0，曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点0，其上任意一点M的切线与x轴交于T，又MP垂直x轴于点P．已知由曲线y=f(x)，直线MP及x轴所围成的面积与▲MTP的面积之比为3：2，求满足上述条件的曲线的方程．
本题答案：
设切点M坐标为(x，y)，则过M的切线方程为Y—y=Y’(X-x)．
令Y=0得X=x-
．由题意得
整理并求导得
．
设切点M坐标为(x，y)，则过M的切线方程为Y—y=Y’(X-x)．
令Y=0得X=x-
．由题意得 整理并求导得
． 22、
(I)求a的值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P．
(I)求a的值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P．
本题答案：
(I)
(I)
23、设A为二阶矩阵，P=(α，Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量．
(I)证明P为可逆矩阵；
(11)若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．
(I)证明P为可逆矩阵；
(11)若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．
本题答案：
(I)α≠0且α不是A的特征向量，于是Aα≠λα，故α与Aα线性无关，
则r(α，Aα)=2，
则P可逆．
(II)解法一
由已知有A2α=-Aα+6α，
于是AP=A(α，Aα)=(Aα，A2α)=(Aα，-Aα+6α)
因为P可逆，
，
所以可得A的特征值也为-3，2．于是A可相似对角化．
解法二：
P-1AP同解法一．
由A2α+Aα-6α=0，
得(A2+A-6E)α=0，
即(A+3E)(A-2E)α=0，
由α≠0得(A2+A-6E)x=0有非零解，
故|(A+3E)(A-2E)|=0，
得|A+3E|=0或|A-2E|=0，
若|A+3E|≠0，则有(A-2E)α=0，故Aα=2α与题意矛盾，
故|A+3E|=0，同理可得|A-2E|=0．
于是A的特征值为λ1=-3，λ2=2，
A有2个不同特征值，故A可相似对角化．
(I)α≠0且α不是A的特征向量，于是Aα≠λα，故α与Aα线性无关，
则r(α，Aα)=2，
则P可逆．
(II)解法一
由已知有A2α=-Aα+6α，
于是AP=A(α，Aα)=(Aα，A2α)=(Aα，-Aα+6α)
因为P可逆，
，所以可得A的特征值也为-3，2．于是A可相似对角化．
解法二：
P-1AP同解法一．
由A2α+Aα-6α=0，
得(A2+A-6E)α=0，
即(A+3E)(A-2E)α=0，
由α≠0得(A2+A-6E)x=0有非零解，
故|(A+3E)(A-2E)|=0，
得|A+3E|=0或|A-2E|=0，
若|A+3E|≠0，则有(A-2E)α=0，故Aα=2α与题意矛盾，
故|A+3E|=0，同理可得|A-2E|=0．
于是A的特征值为λ1=-3，λ2=2，
A有2个不同特征值，故A可相似对角化．