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2020年硕士研究生《数学(三)》真题
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1、
A.bsina
B.bcosa
C.bsinf(a)
D.bcosf(a)
本题答案：
B
B
2、
的第二类间断点的个数为
的第二类间断点的个数为A.1
B.2
C.3
D.4
本题答案：
C
C
3、设奇函数f(x)在(-∞，+∞)上具有连续导数，则( )．
A.
B.
C.
D.
本题答案：
A
A
4、
A.(-2，6)
B.(-3，1)
C.(-5，3)
D.(-17，15)
本题答案：
B
B
5、设四阶矩阵A=(aij)不可逆，a12的代数余子式A12≠0，α1，α2，α3，α4为矩阵A的列向量组，A*为A的伴随矩阵，则方程组A*x=0的通解为( )．
A.x=k1α1+k2α2+k3α3，其中k1，k2，k3为任意常数
B.x=k1α1+k2α2+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数
C.x=k1α1+k2α3+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数
D.x=k1α2+k2α3+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数
本题答案：
C
C
6、设A为三阶矩阵，α1，α2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，α3为A的属于特征值-1的特征向量，则
的可逆矩阵P为
的可逆矩阵P为A.(α1+α3，α2，-α3)
B.(α1+α2，α2，-α3)
C.(α1+α3，-α3，α2)
D.(α1+α2，-α3，α2)
本题答案：
D
D
7、设A，B，C为三个随机事件，且P(A)=P(B)=P(C)=
，P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=
，则A，B，C中恰有一个事件发生的概率为()．
，P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=，则A，B，C中恰有一个事件发生的概率为()．A.
B.
C.
D.
本题答案：
D
D
8、设随机变量(X，Y)服从二维正态分布
，下列随机变量中服从标准正态分布且与X独立的是( )．
，下列随机变量中服从标准正态分布且与X独立的是( )．A.
B.
C.
D.
本题答案：
C
C
9、
本题答案：
(π-1)dx-dy
【解析】
(π-1)dx-dy
【解析】
10、曲线x+y+e2xy=0在点(0，-1)处的切线方程为______．
本题答案：
y=x-1
【解析】
1+y’+e2xy(2y+2xy')=0，
将x=0，y=-1代入上式得y’=1=k，
故y+1=1(x-0)，即y=x-1．
y=x-1
【解析】
1+y’+e2xy(2y+2xy')=0，
将x=0，y=-1代入上式得y’=1=k，
故y+1=1(x-0)，即y=x-1．
11、设某工厂生产某产品的产量为Q，成本C(Q)=100+13Q，设该产品的单价为P，需求量
，则该工厂取得最大利润时的产量为______．
，则该工厂取得最大利润时的产量为______．
本题答案：
8
【解析】
8
【解析】
12、设平面区域
，则D绕y轴旋转一周所成旋转体的体积为______．
，则D绕y轴旋转一周所成旋转体的体积为______．
本题答案：
π(ln2-
)
π(ln2-
) 13、行列式
______.
______.
本题答案：
a4—4a2
【解析】
a4—4a2
【解析】
14、设随机变量X的概率分布P{X=k}=
，k=1，2，3，…，Y表示X被3除的余数，则E(Y)=______．
，k=1，2，3，…，Y表示X被3除的余数，则E(Y)=______．
本题答案：
【解析】
P{Y=0}=P{X=3k，k=1，2，3，…}，
【解析】
P{Y=0}=P{X=3k，k=1，2，3，…}，
15、
本题答案：
解：
解：
16、求二元函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值．
本题答案：
解：求一阶导数可得
解：求一阶导数可得
17、已知函数y=f(x)满足y”+2y’+5y=0，且f(0)=1,f’(0)=-1．
(I)求f(x)的表达式；
(Ⅱ)
(I)求f(x)的表达式；
(Ⅱ)
本题答案：
解：(I)
解：(I)
18、
本题答案：
解：积分区域D如图所示．
解：积分区域D如图所示．
19、设函数f(x)在区间[0，2]上具有连续导数f(0)=f(2)=0，M=max{|f(x)|}，x∈[0，2]，
证明：(I)]ξ∈(0，2)，使得M≤|f’(ξ)|；
(Ⅱ)若
x∈(0，2)，|f'(x)|≤M，则M=0．
证明：(I)]ξ∈(0，2)，使得M≤|f’(ξ)|；
(Ⅱ)若
x∈(0，2)，|f'(x)|≤M，则M=0．
本题答案：
证明：(I)由M=max{|f(x)|}，x∈[0，2]知存在c∈(0，2)，使|f(c)|=M，若c∈(0，1]，由拉格朗日中值定理得至少存在一点ξ∈(0，C)，使
(II)若M>0，则c≠0，2．
由f(0)=f(2)=0及罗尔定理知存在η∈(0，2)，使f’(η)=0．
当η∈(0，C]时，
证明：(I)由M=max{|f(x)|}，x∈[0，2]知存在c∈(0，2)，使|f(c)|=M，若c∈(0，1]，由拉格朗日中值定理得至少存在一点ξ∈(0，C)，使
(II)若M>0，则c≠0，2．
由f(0)=f(2)=0及罗尔定理知存在η∈(0，2)，使f’(η)=0．
当η∈(0，C]时，
20、
(I)求a，b的值；
(II)求正交矩阵Q．
(I)求a，b的值；
(II)求正交矩阵Q．
本题答案：
解：(1)
解：(1)
21、设A为二阶矩阵，P=(α，Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量．
(I)证明P为可逆矩阵；
(Ⅱ)若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．
(I)证明P为可逆矩阵；
(Ⅱ)若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．
本题答案：
解：(I)因为α≠0且α不是A的特征向量，所以Aα≠λα，
故α与Aα线性无关，
则r(α，Aα)=2，
则P可逆．
(Ⅱ)AP=A(α，Aα)
=(Aα，A2x)
由A2α+Aα-6α=0，
得(A2+A-6E)α=0，
即(A+3E)(A-2E)α=0，
由α≠0得(A2+A-6E)x=0有非零解，
故|(A+3E)(A-2E)|=0，
得|A+3E|=0或|A-2E|=0，
若|A+3E|≠0，则有(A-2E)α=0，故Aα=2α与题意矛盾，
故|A+3E|=0，同理可得|A-2E|=0，
于是A的特征值为λ1=-3，λ2=2．
A有2个不同特征值，故A可相似对角化．
解：(I)因为α≠0且α不是A的特征向量，所以Aα≠λα，
故α与Aα线性无关，
则r(α，Aα)=2，
则P可逆．
(Ⅱ)AP=A(α，Aα)
=(Aα，A2x)
由A2α+Aα-6α=0，
得(A2+A-6E)α=0，
即(A+3E)(A-2E)α=0，
由α≠0得(A2+A-6E)x=0有非零解，
故|(A+3E)(A-2E)|=0，
得|A+3E|=0或|A-2E|=0，
若|A+3E|≠0，则有(A-2E)α=0，故Aα=2α与题意矛盾，
故|A+3E|=0，同理可得|A-2E|=0，
于是A的特征值为λ1=-3，λ2=2．
A有2个不同特征值，故A可相似对角化．
22、
(I)求二维随机变量(Z1，Z2)的概率分布；
(Ⅱ)求Z1与Z2的相关系数
.
(I)求二维随机变量(Z1，Z2)的概率分布；
(Ⅱ)求Z1与Z2的相关系数
.
本题答案：
解：(I)(X，Y)在区域D上服从均匀分布，
则P{Z1=0，Z2=0}=P{X≤Y，X≤-Y}=
，
P{Z1=0，Z2=1}=P{X≤Y，Y>-X}=
，
P{Z1=1，Z2=0}=P{X>Y，X≤-Y}=0，
P{Z1=1，Z2=1}=P{X>Y，X>-Y}=．
概率分布为
(1I)
解：(I)(X，Y)在区域D上服从均匀分布，
则P{Z1=0，Z2=0}=P{X≤Y，X≤-Y}=
，P{Z1=0，Z2=1}=P{X≤Y，Y>-X}=
，P{Z1=1，Z2=0}=P{X>Y，X≤-Y}=0，
P{Z1=1，Z2=1}=P{X>Y，X>-Y}=
．概率分布为
(1I)
23、设某种元件的使用寿命T的分布函数为
其中θ，m为参数且大于零．
(I)求概率P{T>t}与P{T>s+t|T>s}，其中s>0，t>0；
(Ⅱ)任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1，t2，…，tn，若m已知，求θ的最大似然估计值
．
其中θ，m为参数且大于零．(I)求概率P{T>t}与P{T>s+t|T>s}，其中s>0，t>0；
(Ⅱ)任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1，t2，…，tn，若m已知，求θ的最大似然估计值
．
本题答案：
解：
(I)
解：
(I)